CosmicComplex (CC)

CosmicComplex は、複素数値関数

$$ G(\theta) = (x + i\theta)^d $$

（およびその拡張）を 値としてではなく構造として観測 するための実験用モジュールである。

本モジュールの目的は、複素和の内部に現れる

項の支配構造
位相（arg）の運動
位相速度（位相微分）
部分和の幾何（polygon）
寄与率とエントロピー

を 可視化・数値化し、演算前後の変化（Motion）として比較可能にする ことにある。

1. 基本思想

1.1 回転は「与えない」、勝手に生まれる

CosmicComplex は

三角関数（sin, cos）
指数関数（exp(iθ)）
円周率 π

に 一切依存しない。

それにもかかわらず、複素平面上では明確な「回転（位相）」と「位相速度」が観測される。

これは回転が 解析的に注入されたものではなく、複素数の加法・乗法という代数構造から 自発的（emergent）に生じる ことを示している。

π は位相の ラベル整理（unwrap） にのみ使われ、構造定義そのものには関与しない。

2. モジュール構成

2.1 CosmicComplex クラス

cc = CosmicComplex(d=8, x=4.0, mode="even")

パラメータ

d : 次元（解像度）。偶数推奨。運用上は d = 2^n が扱いやすい
x : 実軸スケール
mode :
- "any" : 制限なし
- "even" : d を偶数に制限
- "dyadic" : d = 2^n に制限

2.2 観測（Observation）

obs = cc.observe(theta)

1 点 θ において、以下を同時に取得する：

G : 複素値 (G(\theta))
terms[k] : 各項 (T_k(\theta))
abs_terms[k] : 各項の大きさ
contrib[k] : 寄与率
dominant_k : 支配項インデックス
partial_sums : 部分和多角形
arg : 位相
entropy : 寄与率エントロピー

2.3 位相速度（位相微分）

$$ \omega(\theta) = \frac{d}{d\theta} \arg G(\theta) $$

は、observe を θ グリッド上で評価し、

arg を unwrap
数値微分

することで得られる。

これは 構造の回転慣性・安定性 を測る主要指標である。

3. 演算モノイドと Motion

CosmicComplex は「演算」をモノイドとして扱う。

3.1 Op（演算）

例：

ScaleX(a) : x のスケーリング
FlipTheta() : θ → −θ
ShiftTheta(t0) : θ シフト
ChangeD(d) : 次元変更

演算は合成可能：

op = FlipTheta().then(ScaleX(1.25))

3.2 Motion（演算前後差分）

motion = cc.motion(theta, op)

before / after の Observation
差分：
- ΔG
- Δarg
- 支配項遷移
- Δentropy
- 寄与率差分

を同時に記録する。

これは 構造の運動学的比較 を行うための中核機能である。

4. スケーリングと歪み（拡張予定）

本設計は π 非依存のため、以下の拡張が自然に可能：

虚軸スケール変更 $$ G(\theta) = (x + i\alpha\theta)^d $$
斜交化（直交破壊） $$ z = x + (\beta + i\alpha)\theta $$

これにより

支配項階段の移動
位相速度の変形
部分和多角形の歪み

を系統的に観測できる。

5. 研究的背景（メモ）

位相微分は $$ \frac{d}{d\theta}\arg G = \operatorname{Im}!\left(\frac{G'}{G}\right) $$

に対応し、ζ関数の (\zeta'/\zeta) と同型の構造を持つ。
本モジュールは
- RH における「σ=1/2 の安定性」
- OOL-KND（Only One Line Knows No Drift）の観測的検証のための 制御可能モデル として設計されている。

6. 注意

本モジュールは証明器ではない
観測・実験・構造理解のためのツールである
数値結果は近似であり、解釈は慎重に行うこと

7. 最後に